דאס ריעמאן זעטאַ פאָנקשען און דאס ריעמאן היפאטעזיע

אין דער וועלט פון נאטור און וויסנשאפט
רעאגיר
באניצער אוואטאר
מי אני
שריפטשטעלער
שריפטשטעלער
הודעות: 5447
זיך רעגיסטרירט: פרייטאג אקטאבער 05, 2018 4:32 pm
האט שוין געלייקט: 13018 מאל
האט שוין באקומען לייקס: 7101 מאל

דאס ריעמאן זעטאַ פאָנקשען און דאס ריעמאן היפאטעזיע

שליחה דורך מי אני »

איינע פון די מאטעמאטישע פראבלעמען וואס די קלעי אינסטיטוט איז גרייט צו צאלן $1,000,000 פאר דער וואס ווייזט דאס אויף (אדער ווייזט אויף אז נישט) איז דאס ריעמאן היפאטעזיע. דאס צו אביסל מסביר זיין בקוצר אמרים מאד מאד דארף מען מאכן אפאר הקדמות.

קאלקולוס, ווי באקאנט, גיבט זיך אפ מיט׳ן באהאנדלען און צאמהאנדלן צוזאמען אינפיניטי - גיבן א סארט פיניט ענטפער צו אן אינפיניט פּראגרעשאן וכו׳. דאס ארבעט בשורשו דורך דעם געדאנק פון א לימיט. דאס מיינט אז איך קוק אן ווי נענטער און נענטער/גרעסער און גרעסער וכדומה די וועליוּ ווערט צו וועלכע נומער וכדומה קומט דאס נענטער און נענטער צו, אפילו ס׳גייט מעולם נישט ממש אנקומען צו יענע וועליוּ מחמת איזה סיבה שהיא (מ׳האט אביסל געשמועסט דערפון דא).

אין קאלקולוס איז דא די פעלד פון סיריִס. דאס איז ווען איך האב אן אינפיניט סיִקווענס פון א געוויסע פּאטערן פון נומערן וואס איך טוה צאמרעכענען, און איך וויל געוואויר ווערן, דורך נוצן א לימיט בעצם, צו דאס גייט ״קאנווערדזשען״ און למעשה ווערן נענטער און נענטער צו א געוויסע סומע, אדער אז איך קען דאס נישט צאמרעכענען, עס טוהט ״דיווערדזשען״, ווייל עס וואקסט מער און מער לאין שיעור וערך.

למשל די סיריִס וואו איך האלב און נאכדעם לייג איך צו האלב דערפון אא״וו כזה: 1+1/2+1/4+1/8+1/16 אא״וו בב״ת, אדער די סיריִס פון די רעסיפּראקעלס פון פּאַליגאַנעל נומערן, 1+1/3+1/6+1/10 אא״וו בב״ת, זענען ״קאנווערדזשענט סיריִס״, ווייל זיי גייען עעווענטשועל צוקומען צו א געוויסע וועליוּ [2] וואס פון דארט (אדער אפילו צו דארט) און ווייטער גייט עס ממש וואקסן אומדערקענבאר. משא״כ די סיריִס 1+2+3+4+5 אא״וו בב״ת איז א ״דיווערדזשענט סיריִס״, ווייל ווי מ׳זעהט איז אז ווי ווייטער מ׳גייט אלס גרעסער ווערן די נומערן און די סומע וואקסט אלס מער און מער, וממילא קומט עס נישט צו צו א געוויסע נומער.

די סיריִס פון 1+1/2+1/3+1/4 אא״וו בב״ת, די רעסיפּראקעל פון די געהעריגע נומערן אין א סדר, איז דיווערדזשענט און נישט קאנווערדזשענט. דאס איז ווייל הגם אויבן-אויף זעהט עס נישט אויס אזוי ווערט עס אבער יא גרעסער און גרעסער. למשל, די נעקסטע צוויי נאך 1/2, שהם 1/3+1/4, זענען גרעסער פון 1/2. און אזוי אויך די נעקסטע 4 וואס קומען נאך דעם וכו׳ וכו׳. קומט אויס אז עס טוהט יא וואקסן מער און מער. דאס איז אחוץ אויב מ׳טוישט יעדע צווייטע סימבאל פון א + צו א - (עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז ביי סיריִס וואו עס איז דא + און - קען עס מאכן א חילוק די סדר אין וואס מען טוהט דאס; עס איז ל״ד עסאָסיעטיוו/קאָמיוּטעטיוו ווי אין אלגעמיין.) דאס רופט זיך די הארמאנישע סיריס.

די מאטעמאטישע נאָטעישאן וואס איך נוץ פאר דעם איז די Σ סימבאל. ביי די זייט דערפון שרייב איך די סארט פּעטערן פון די סיריִס, אונטער דעם שרייב איך פון וועלכע וועליוּ/נומער אין די סיִקווענס איך הייב אן צאמרעכענען, און העכער דעם ביז וועלכע וועליוּ/נומער אינעם סיִקווענס איך וויל רעכענען (אפטמאל ∞).

עס איז דא א געוויסע סארט סיריִס וואס הייסט די ריעמאן זעטאַ פאָנקשין. דאס איז א סיריִס וואס זעהט אויס אזוי:
Σ1/n^s n=1 →∞
דאס הייסט איך וועל אויס עפעס א וועליוּ/נומער פאר׳ן s, דהיינו די עקספּאנענט אינעם דענאמינעיטאר, און די סיריִס זאגט מיר פון וועלכע נומער די n הייבט זיך אן, דהיינו אלעמאל פון 1, וואס פון דארט הייב איך אן צאמרעכענען אלע נומערן אינעם סיִקווענס: די נעקסטע n וועט שוין זיין די נעקסטע (נאטורליכע) נומער 2 מיט די s עקספּאנענט דערויף וואס איך האב געוועלט און אזוי ווייטער און ווייטער. דאס איז די סיבה איך רוף עס א ״פאָנקשען״ ווייל איך פיטער אריין א וועליוּ אין צו די פאָנקשען (s) און דאס (צומאל) שפייט ארויס אן אנדערע וועליוּ ווענדענדיג זיך אינעם s (ועיין כאן. די פאָנקשען ווערט געשריבן אלס ζ(s).

אויב די s וואס איך האב געוועלט איז מער ווי 1 (געדענק אז ווען עס איז 1 איז עס דאך די הארמאנישע סיריס וואס טוהט דיווערדזשען) וועט עס אלעמאל קאנווערדזשען צו עפעס א נומער, וויבאלד די פאָנקשען/סיריִס וועט דאך זיין איין קלענערע פרעקשאן נאכ׳ן אנדערן וואס האלט אין איין ווערן קלענער. משא״כ אויב איז די s פון 1 און קלענער גייט עס נישט אזוי מיט א סדר פון איינס קלענער ווי דאס פריערדיגע, וממילא גייט דאס דיווערדזשען. דאס איז בפרט אויב איז די s א נעגאטיווע נומער. דאס איז וויבאלד א נעגאטיווע עקספאנענט מיינט פשוט דעם אינווערס/רעסיפּראקעל (מ׳האט עס אביסל מסביר געווען דא), וממילא אז מ׳גיבט עס דא א נעגאטיווע עקספאנענט גייט עס דאך מיינען דעם רעסיפּראקעל, דהיינו אז די דענאמינעיטאר איז גאר די נוּמערעיטאר און איינס ווערט גאר גרעסער און גרעסער פונעם פריערדיגן נומער אינעם סיִקווענס אויף גאר א גרויסן פארנעם ווייל איך טוה דאס נאך עקספּאנענשיעיטן אויך.

מיט׳ן זיך אבער ארומשפילן מיט אלגעברא לומדות בתוך די סיריִס קען איך טרעפן א קאנווערדזשענט וועליוּ פאר די זעטאַ פאָנקשען פאר נומערן אפילו ווייניגער ווי 1, אבער נישט פאר 1 אליין. פון די עקסטענדעד דאמעין [וועליוּס וואס איך קען/מעג אריינפיטערן אינעם פאָנקשען און עס זאל מיר אויסשפייען א געהעריגע קאנווערדזשענט ענטפער] וועט אויסקומען אז יעדע נעגאטיווע איִווען נומער וועט ארויסגיבן א 0. דאס ווערן אנגערופן די ״טריוויעל [מינדערוויכטיגע]״ זעראס פון די פאָנקשען.

דא הא׳מיר ארומגערעדט איבער דאס געדאנק פון אן אימעדזשינערי נומער. אונז הא׳מיר געזאגט אז יעדע אזא סארט נומער ווערט צאמגעפארט מיט א געהעריגע ״עכטע״ נומער און צוזאמען ווערט דאס גערופן א קאמפּלעקס נומער ע״ש. דער גרויסער מאטעמאטיקער בּערנהארד ריעמאן האט געוואוזן אז די זעלבע זאך וועט נוגע זיין טאמער פיטער איך אריין אין דעם פאָנקשען א קאמפּלעקס נומער וואס איר ״עכטע״ חלק איז 1 אדער מער - עס וועט אלס קאנווערדזשן צו עפעס א ספּעציפישע נומער; פארשטייט זיך טאקע צו עפעס א קאמפּלעקס נומער. יעצט אז ער האט אריינגעברענגט די פאָנקשען אין צו קאמפּלעקס אנאליסיס און צו דאס משדך זיין מיט קאמפּלעקס נומערן, האט ער בפרט גענוצט א מאטעמאטישע לומדות וואס רופט זיך אין די פעלד פון קאמפּלעקס אנאליסיס א האלאמארפישע פאָנקשען אויף נאך מער צו עקסטענדן דאס אז די פאָנקשען זאל גיבן א קאנווערדזשענט ענטפער פאר וואו מ׳וועלט פאר s א קאמפּלעקס נומער ואפילו פאר וואו מ׳וועלט די עכטע חלק דערפון אונטער 1 (אבער נישט 1 אליין כנ״ל).

וואס ריעמאן האט היפאטיזירט איז אז די ״נישט-טריוויעל״ זעראס פון די פאָנקשען, דאס הייסט ווען איך פיטער אריין אינעם זעטאַ פאָנקשען א קאמפּלעקס נומער און עס וועט ארויסגיבן א קאנווערדזשענס צו 0, וועלן אלע נאר האבן 1/2 אלס די ״עכטע״ חלק.

דאס ווייסט מען שוין אז די נאן-טריוויעל זעראס פון די פאָנקשען גייען זיכער האבן אלס זייער עכטע חלק פון 0 ביז 1 (ולא עד בכלל). ולא זו בלבד נאר די חלק האימעדזשינערי נומער פונעם קאמפּלעקס נומער צוזאמען מיט׳ן עכטן נומער וואס גיבט די זערא גייען גיין אין פּאָרן. למשל, אויב 1/2+3i גיבט א זערא, וועט 1/2-3i אויך גיבן א 0. נאך מער ווייסט מען אז א שייכות צו 1/2 וועט עס לכה״פ זיכער האבן אלס אזא סארט פּאָר. דהיינו, למשל אויב גיבט:
.57+3i
א 0, וועט:
.43-3i
אויך גיבן א 0, ווייל עס איז די זעלבע ווייט לאידך גיסא פון 1/2.

מען ווייסט אויך אז עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון 0 רעזאלטס צום פאָנקשען אויב די עכטע חלק פונעם קאמפּלעקס נומער וואס מ׳פיטערט אריין איז 1/2. מ׳ווייסט אבער נישט צו זיי זענען נאר דארט (אין די געגענט צווישן 0 און 1 אלס׳ן עכטן חלק פונעם קאמפּלעקס נומער וכנ״ל).
"איך בין אפילו נישט זיכער אז איך עקזיסטיר, ווי אזוי קען איך זיין זיכער אז...?" - יאיר
"אלס וואס איך ווייס איז אז איך ווייס גארנישט (אחוץ דעם עצם פאקט)" - סקראטוס
און אפילו אין דעם בין איך אויך נישט זיכער (וכן הלאה והלאה)

דער אשכול פארמאגט 118 תגובות

איר דארפט זיין א רעגיסטרירטער מעמבער און איינגעשריבן צו זען די תגובות.


רעגיסטרירן איינשרייבן
 
רעאגיר