דאס איז נישט באמת אמאל געשעהן אין די באקאנטע היסטאריע, אבער איז א באקאנטע משל פאר איינע פון די פארדאקסן פון זינון, זינון איז געווען א גריכישער פילאסאף אינעם פיפטן יאהר הונדערט בעפארן ציילונג, ער האט פארגעלייגט עטליכע פאראדאקסן, וואס מאכט טראכטן אביסל טיפער איבער צייט, ספעיס און אינסוף. (די פארדאקסן זענען שוין אמאל דערמאנט געווארן דא אין שטיבל דורך החכם [tag]שליח[/tag], אזכור ימים מקדם ימי תפארתך).
אלזא, צוריק צום רעיס, די לענג פונעם רעיס איז געווען אויסגעשטעלט פאר 400 מעטער, אקילעס לויפט אין א שנעלקייט פון צען מעטער פאר א סעקונדע (36 קילאמעטער פער שעה) און די טשערעפאכע לויפט 1 מעטער פער סעקונדע (אדער 3.6 קמ"ש). עס איז גאנץ קלאר אז אקילעס וועט געווינען דעם רעיס, ווער איז אנגעקומען פריער צום פיניש פוינט?
אבער אקילעס האט פראבירט צו זיין פעיר, ער האט מחליט געווען אז ער וויל זיך רעכענען מיט די באגרעניצונג פון דעם טשערעפאכע, און ער האט איהם געלאזט אנפאנגען מיט 100 מעטער בעפאר איהם. ווער וועט יעצט געווינען דעם רעיס? געוויס – אקילעס וועט נאך אלס געווינען. ווייל עס וועט איהם נעמען צו לויפן די גאנצע 400 מעטער אין 40 סעקונעס, בשעת דעם טשערעפאכע וועט דארפן 300 סעקונדעס צו ענדיגן די 300 מעטער.
איז עס טאקע אזוי?
זינון שטעלט פאר א לאגישע חשבון וואס וועט לכאורה אויפווייזן אז אקילעס וועט קיינמאל נישט קענען איבערגיין דעם טשערעפאכע. די לאגיק ארבעט אזוי : אין אנפאנג פונעם רעיס דארף אקילעס לויפן 100 מעטער כדי אנצוקומען צו די פוינט וואס די טשערעפאכע האט אנגעפאנגען, נאך וואס ער לויפט ביז אהין (אין 10 סעקונדעס) האט שוין דער טשערעפאכע אנגעיאגט צו זיך רוקן אביסל פאראויס (10 מעטער), יעצט דארף אקילעס נאך צייט צו נאכיאגן דעם טשערעפאכע, אבער ביזדערווייל וועט די טשערעפאכע זיך רוקן נאך א שטרעקע (טאקע גאר א קליינע שטרעקע, אבער עס איז נאך אלס עפעס א ווייטקייט), און אזוי ווייטער ביז אינסוף – דעריבער קומט אויס אז אקילעס וועט קיינמאל דעריאגן דעם טשערעפאכע.
עס הערט זיך לאגיש אבער זייער מאדנע, נישט אזוי? מיר אלע ווייסן אז אקילעס וועט גרינגערהייט איבעריאגן דעם טשערעפאכע, אבער פון די אנדערע זייט וואס איז די לאגישע ענטפער אויף זינון'ס לאגיק? דאס איז א קלאסישע דוגמא פון א פארדאקס, לאגיש שטימט עפעס נישט, אונזער לאגיק קוקט אויס צו זיין נישט קאנסיסטענט, און דאס קען לכאורה מיינען אז איינע פון אונזערע הנחות זענען נישט ריכטיג, אבער די שאלה איז וואו פונקטליך איז זינון זיך טועה מיט זיין חשבון.
בעצם די טשערעפאכע פעלט בכלל נישט אויס צום משל, נאר כדי לשבר את האוזן, אויב טראכט מען גוט אריין אין די עומק פון די פאראדאקס, די שאלה איז ווי אזוי קען זיין אז א פייניט נומער (מספר סופי) זאל ארויסקומען פון א סכום פון אינסוף קליינע נומערן. און אז מ'איז מער מפשט די שאלה, זעהט מען אז דאס איז א יסודית'דיגע שאלה אין מאטעמאטיק. און לאמיר עס אביסל אראפשרייבן מער אבסטראקט:
ווען אונז האבן מיר א סעריע פון אינסוף נומערן וואס איז דער סכום פון די סעריע? למשל, אויב זאלן מיר נעמען אלע נאטורליכע נומערן, אונז מיר וועלן עס צוזאמנעמען וואס וועט זיין די תוצאה? לכאורה איז דער ענטפער אינסוף, ווייל עס איז דא אינסוף נומערן. און אויב וועלן מיר אבער מגדיר זיין א סעריע פון אינסוף נומערן, וואס די ווי ווייטער מ'גייט אין די סעריע ווערט עס קלענער און קלענער, למשל די ערשטע עלעמענט אין די סעריע איז איינס, דערנאך האלב, דערנאך האלב דערפון (א פערטל), דערנאך האלב דערפון (אן אכטל) און אזוי ווייטער עד אינסוף, וואס איז דער סך-הכל פון די גאנצע סעריע?
דער ענטפער צו די שאלה, אין דעם ליגט באהאלטן די ענטפער צו די פארדאקס פון זענאן. מיר קענען נעמען א סעריע פון אינסוף עלעמענטן וואס דער סך הכל פון די עלעמענטן וועט זיין א פייניט נומער. דעריבער קען אקילעס אריבערשפרינגען דעם טשערעפאכע גרינגערהייט, ווייל בסופו של דבר ווערט די מרחק פון איהם מיט די טשערעפאכע אזוי קליין, און עס גייט נישט ביז אינסוף.
דער דאזיגער אשכול איז געשריבן געווארן צו פראבירן מקרב זיין אל השכל, איין פאראגראף וואס החכם הנודע [tag]מי אני[/tag] האט געשריבן אין אן אנדערן אשכול:
מי אני האט געשריבן:למשל די סיריִס וואו איך האלב און נאכדעם לייג איך צו האלב דערפון אא״וו כזה: 1+1/2+1/4+1/8+1/16 אא״וו בב״ת, אדער די סיריִס פון די רעסיפּראקעלס פון פּאַליגאַנעל נומערן, 1+1/3+1/6+1/10 אא״וו בב״ת, זענען ״קאנווערדזשענט סיריִס״, ווייל זיי גייען עעווענטשועל צוקומען צו א געוויסע וועליוּ [2] וואס פון דארט (אדער אפילו צו דארט) און ווייטער גייט עס ממש וואקסן אומדערקענבאר. משא״כ די סיריִס 1+2+3+4+5 אא״וו בב״ת איז א ״דיווערדזשענט סיריִס״, ווייל ווי מ׳זעהט איז אז ווי ווייטער מ׳גייט אלס גרעסער ווערן די נומערן און די סומע וואקסט אלס מער און מער, וממילא קומט עס נישט צו צו א געוויסע נומער.
קענווערדזשענט - מיינט בעצם א סעריע פון אינסוף נומערן וואס דער סכום פון זיי וועט בסך הכל זיין א מספר סופי.