״דאפלען״
די דריטע אקט אין אריטמאטיק איז דאפלען (טיימס, multiplication).
ווי למשל:
קוד: וועל אויס אלע
2*2=4קוד: וועל אויס אלע
5*3=15(דער סימבול פון טיימס, כאטש וואס ס׳ווערט גענוצט אין חדר א ״x״ איהם צו דענאטירן, אבער אין העכערע מאטעמאטיק, נוצט מען אנדערע סימבאלן, און צומאל שרייבט מען נישט קיין איין סימבאל, און דער לייענער דארף פארשטיין אליינס אז מ׳דאפלט, (אבער דאס איז בעיקר ווען מ׳נוצט בוכשטאבן). איך וועל נוצן דעם סימבאל * , ווייל דאס ערלויבט מיר מיין קיבארד, ואתכם הסליחה).
כדי עס צו פארשטיין, איז ראטזאם זיך צו פארשטעלן, א רעקטענגל (rectangle), וועלכער איז ברייט כך וכך פוס, און איז לאנג כך וכך פוס, אויב מיר וועלן ציילן די סקווער פוס, וועלכע זענען אינעווייניג, (דאס הייסט, וויפיל סקווערס וואס זענען גרויס א פוס אויף א פוס, זענען דא אין די רעקטענגל), וועלן מיר וויסן, וויפיל איז די ברייט - טיימס - די לענג.
ווי למשל , אויב די ברייט איז 4, און די לענג איז 3, דעמאלטס איז די סך-הכל 12 סקווער פוס.
דער אקט פון דאפלען, האט די זעלבע מעלות ווי צולייגן. דאס איז אז:
קוד: וועל אויס אלע
3*4=4*3קוד: וועל אויס אלע
2*5=5*2און אזוי אויך די צווייטע מעלה, אז:
קוד: וועל אויס אלע
3*(6*2)=(3*6)*2קוד: וועל אויס אלע
2*(5*4)=(2*5)*4
ווען עס קומט צו דאפלען נעגעטיווע נומערן אין פאזיטיווע נומערן, איז דער כלל אזוי: א פאזיטיווע נומער טיימס א פאזיטיווע נומער, ברענגט אויך א פאזיטיווע נומער. א נעגעטיווע נומער טיימס א פאזיטיווע נומער, אדער פארקערט- א פאזיטיווע נומער טיימס א נעגעטיווע נומער, (ווי פריער דערמאנט איז עס די זעלבע זאך), ברענגט א נעגעטיווע נומער. אבער, א נעגעטיווע נומער טיימס א נעגעטיווע נומער ברענגט א ״פאזיטיווע״ נומער. (כאטש עס זעהט אויס צום ערשטע מאל אביסל מיסטעריעז, אבער עס איז דא באווייזן אויף דעם פאקט, וואס איך וועל אפשר שרייבן אין אן אנדערע געלעגנהייט). ווי למשל:
קוד: וועל אויס אלע
(-3)*2=(-6)קוד: וועל אויס אלע
(-8)*10=(-80)קוד: וועל אויס אלע
6*(-5)=30קוד: וועל אויס אלע
3*7=21קוד: וועל אויס אלע
(-7)*(-6)=42ווען עס קומט צו דאפלען גרעסערע נומערן, איז אויך דא א באקאנטע מעטאד, וואס קען העלפן פאר די וועלכע קענען שוין דעם טיימס טעיבל (לוח הכפל), ווי פאלגענד.
לאמיר זאגן מען שרייבט אראפ איין נומער אויבן און איינעם אונטן. מ׳פאנגט אן מיט די גאנץ רעכטע איינציגע פון די אונטערשטע נומער און מען דאפלט עס אין די גאנץ רעכטע פון די אויבערשטע נומער , און מען שרייבט אראפ דער איינצער וואס מען באקומט (און דער צעהנער האלט מען אין קאפ ביזן קומענדיגן שטאפל), דערנאך איז מען ממשיך צו דאפלען די זעלבע נומער (די ערשטע פונעם אינטערשטן) אינעם צווייטן נומער פון רעכטס פונעם אויבערשטע נומער, ביז מען ענדיגט צו דאפלען די ערשטע פון אונטן אין אלע אויבערשטע נומערן. דאן פאנגט מען אן צו טוהן דאס זעלבע מיט די צווייטע נומער פונעם אונטערשטן נומער אינעם ערשטע פון די אויבערשטע. וכן הלאה. ביז מען ענדיגט אלע אונטערשטע אין אלע אויבערשטע נומערן.
דאן, נעמט מען די אלע סומעס וואס מ׳האט באקומען, און מען לייגט צו א נול (זערא/אפס), צו די נומער וואס מ׳האט באקומען פון דאפלען דעם צווייטן נומער פונעם אונטערשטן, און ווידער לייגט מען צו צוויי נולן צום נומער וואס מ׳האט באקומען פון דריטן, וכן הלאה. און מ׳רעכנט צוזאם די אלע גרויסע נומערן צוזאם. (אזוי ווי ערקלערט אינעם פריערדיגן ארטיקל), און דער מספר היוצא, דאס איז דער ענדגילטיגער רעזאלט.
איבונגען:
קוד: וועל אויס אלע
6*(-5)=?
(-6)*(-7)=?
543*45=?
355*(-35)=?
(-64)*54=?
(-1)*(-8764)=?_______________
״צוטיילן״
די פערטע אקט און אריטמאטיק איז ״צוטיילן״ (דיוויזשן, division).
ווי למשל:
קוד: וועל אויס אלע
12/6=2
100/10=10און דיוויזשן וועט מען אייביג קלאר מאכן צווישן דעם ״צוטיילטער״ (numerator) (וועלכער שטייט אויבן אדער רעכטס), און דעם ״צוטיילער״ (divisor/denominator) (וועלכער שטייט אונטן אדער לינקס).
אין דעם פריערדיגן משל, דער נומער 12 איז דער צוטיילטער, אין דער נומער 6 איז דער צוטיילער.
(ס׳איז אנגענומען צו שרייבן דעם צוטיילן סימבול, אויף צוויי וועגן, אדער אזוי ווי איך שרייב, מ׳שרייבט דער צוטיילטער אין רעכטס, און דערנאך שרייבט מען א שיפע ליין, און מען שרייבט דעם צוטיילער. אדער קען מען שרייבן דעם צוטיילטער אויבן, און דער צוטיילער אונטן, ווען א גראדע (horizontal) ליין טיילט אפ צווישן זיי).
כדי צו פארשטיין דעם דאזיגן אקט, איז ראטזאם זיך צו פארשטעלן א רעקטענגל, ווען מען ווייסט זיין שטח (ד. ה. וויפיל סקווער-פוט), און איינע פון זיינע זייטן (די לענג אדער די ברייט), און מען וויל וויסן די לענג פון די אנדער זייט.
ווי למשל, א רעקטענגל וואס זיין שטח איז 45 סקווער פוט, און איז ברייט פינעף פוט, וויפיל איז די לענג?
דאן, די שטח איז דער ״צוטיילטער״, און די ברייט איז דער ״צוטיילער״, ווי פאלגענד:
45/5=9
דער אקט פון ״צוטיילן״ האט נישט די מעלות וואס צולייגן און דאפלען האבן, דאס הייסט אז:
קוד: וועל אויס אלע
45/5=//=5/45
120/6=//=6/120און אזוי אויך:
קוד: וועל אויס אלע
120/(6/2)=//=(120/6)/2=120/6/2
150/(10/5)=//=(150/10)/5=150/10/5כדי זיך ארויס צו דרייען פון די פראבלעמען, איז דא אויך (אזוי ווי ביי ״אראפנעמען״) א וועג צו אנקוקן די אקט פון ״צוטיילן״ אזוי ווי די אקט פון דאפלען.
און דערפאר דארפן מיר מקדים זיין, אז יעדע נומער האט א ״מולטיפליקעיטיוו פארקערטע נומער״, דאס הייסט א נומער וואס ווען מ׳וועט איהם דאפלען אין איהם וועט מען באקומען 1. למשל, דער מולטיפליקעיטיוו פארקערטע נומער פון 3 איז 1/3 (א דריטל), ווייל:
3*1/3=1
(אפט מאל ווערט די מולטיפליקעיטיוו פארקערטע נומער געשריבן ווי דער מיינוס 1 פאוער פונעם נומער למשל:
קוד: וועל אויס אלע
3^(-1)=1/3דער ערקלערונג דערויף וועט אפשר נאכקומען, ווען מיר וועלן זיך באקענען מיטן פאוער פון נעגעטיווע נומערן).
אלזא, יעדע צוטיילן קען ווערן אנגעקוקט אלס א דאפלען אקט.
ווי למשל 10 צוטיילן אין צוויי, אי 10 מאל די מולטיפליקעיטיוו פארקערטע נומער פון 2 וואס איז 1/2. אין קורצן 1/2.
און דאן וועלן מיר פארדינען ביידע מעלות פון דאפלען, ווייל:
קוד: וועל אויס אלע
10*(1/2)=(1/2)*10=10/2
120*(1/6)=(1/6)*120=120/6און אזוי אויך:
קוד: וועל אויס אלע
120*(1/6)*(1/2)=120/6/2
150*(1/10)*(1/5)=150/10/5צוטיילן אין זערא.
זערא צוטיילן אין יעדע נומער איז זערא.
אבער, יעדע נומער צוטיילן אין זערא, איז נישט קיין דעפינירטע אקט. (דער ענטפער איז נישט זערא). ווייל עס איז נישט פארהאן קיין מולטיפליקעיטיוו פארקערטע נומער פאר 0.
איבונגען:
קוד: וועל אויס אלע
120/20=?
300/(10/2)=?
500/(-150)=?
34/0=?
0/30=?המשך יבוא…